数字电路笔记

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完整笔记

一、逻辑代数定律和计算规则

定律/规则名称	表达式	解释
恒等律	$A+0=A$ $A\cdot 1=A$	任何变量与0相加或与1相乘等于自身
零律	$A+1=1$ $A\cdot 0=0$	任何变量与1相加或与0相乘等于1或0
幂等律	$A+A=A$ $A\cdot A=A$	任何变量与自身相加或相乘等于自身
互补律	$A+\bar{A}=1$ $A\cdot \bar{A}=0$	任何变量与其补码相加等于1，相乘等于0
交换律
加法交换律	$A+B=B+A$	加法运算的交换律
乘法交换律	$A\cdot B=B\cdot A$	乘法运算的交换律
结合律
加法结合律	$(A+B)+C=A+(B+C)$	加法运算的结合律
乘法结合律	$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$	乘法运算的结合律
分配律
乘法分配律	$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$	乘法对加法的分配律
加法分配律	$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$	加法对乘法的分配律
吸收律
吸收律1	$A+A\cdot B=A$	吸收律的第一种形式
吸收律2	$A\cdot (A+B)=A$	吸收律的第二种形式
德摩根定律
德摩根定律1	$\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$	逻辑加法的德摩根定律
德摩根定律2	$\overline{A\cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$	逻辑乘法的德摩根定律
简化定律
简化定律1	$A+\bar{A}\cdot B=A+B$	简化逻辑表达式
简化定律2	$A\cdot (\bar{A}+B)=A\cdot B$	简化逻辑表达式
共识定律
共识定律 (积之和形式)	$AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$	较难，常用于逻辑化简。项 BC 是 AB 和 AC 的共识项，是冗余的。
共识定律 (和之积形式)	$(A+B)(\bar{A}+C)(B+C)=(A+B)(\bar{A}+C)$	较难，常用于逻辑化简。项 (B+C) 是 (A+B) 和 (A+C) 的共识项，是冗余的。
反演定律
反演定律	$A=\overline{\stackrel{―}{A}}$	变量的双重否定等于自身

推导过程

1. 基本定律

   • 恒等律：$A+0=A$ 和 $A\cdot 1=A$ 是逻辑代数的基本定义。
   • 零律：$A+1=1$ 和 $A\cdot 0=0$ 也是逻辑代数的基本定义。
   • 幂等律：$A+A=A$ 和 $A\cdot A=A$ 是因为逻辑加法和乘法运算的特性。
   • 互补律：$A+\bar{A}=1$ 和 $A\cdot \bar{A}=0$ 是逻辑变量和其补码的定义。

2. 交换律

   • 加法交换律：$A+B=B+A$ 是逻辑加法的交换特性。
   • 乘法交换律：$A\cdot B=B\cdot A$ 是逻辑乘法的交换特性。

3. 结合律

   • 加法结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$ 是逻辑加法的结合特性。
   • 乘法结合律：$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ 是逻辑乘法的结合特性。

4. 分配律

   • 乘法分配律：$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$ 是逻辑乘法对加法的分配特性。
   • 加法分配律：$A+(B\cdot C)=(A+B)\cdot (A+C)$ 是逻辑加法对乘法的分配特性。

5. 吸收律

   • 吸收律1：$A+A\cdot B=A$ 可以从 $A+A\cdot B=A\cdot (1+B)=A\cdot 1=A$ 推导得出。
   • 吸收律2：$A\cdot (A+B)=A$ 可以从 $A\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B=A+A\cdot B=A$ 推导得出。

6. 德摩根定律

   • 德摩根定律1：$\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$ 是逻辑加法的德摩根定律。
   • 德摩根定律2：$\overline{A\cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$ 是逻辑乘法的德摩根定律。

7. 简化定律

   • 简化定律1：$A+\bar{A}\cdot B=A+B$ 可以从 $A+\bar{A}\cdot B=(A+\bar{A})\cdot (A+B)=1\cdot (A+B)=A+B$ 推导得出。
   • 简化定律2：$A\cdot (\bar{A}+B)=A\cdot B$ 可以从 $A\cdot (\bar{A}+B)=A\cdot \bar{A}+A\cdot B=0+A\cdot B=A\cdot B$ 推导得出。

8. 共识定律

   • 共识定律：$(A+B)\cdot (\bar{A}+C)=(A+B)\cdot (\bar{A}+C)\cdot (B+C)$ 可以从 $(A+B)\cdot (\bar{A}+C)=(A+B)\cdot (\bar{A}+C)\cdot (B+C)$ 推导得出，因为 $(A+B)\cdot (\bar{A}+C)\le (B+C)$。

9. 反演定律

   • 反演定律：$A=\overline{\stackrel{―}{A}}$ 是逻辑变量的双重否定特性。

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二、基本门电路

1. 非门

$$Y=\bar{A}$$

2. 与门

$$Y=A\cdot B$$

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

3. 或门

$$Y=A+B$$

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. 与非门

与非门是“与门”和“非门”的结合。

$$Y=\overline{A\cdot B}$$

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

5. 或非门

或非门是“或门”和“非门”的结合。

$$Y=\overline{A+B}$$

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

6. 异或门

当两个输入不相同时，输出为高电平（1）；当两个输入相同时，输出为低电平（0）。这也被称为“半加器”的求和逻辑。

逻辑表达式:

$$Y=A\oplus B$$

真值表:

输入 A	输入 B	输出 Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

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三、编码

1. 原码、反码和补码

为了在二进制系统中表示正负数，我们通常会使用最高位作为符号位。

• 符号位为 0 代表正数。
• 符号位为 1 代表负数。

原码

• 规则: 符号位 + 数值的绝对值的二进制表示。
• 正数: 符号位为0，其余位表示数值。
  • 例如，$+12$ 的原码是 00001100。
• 负数: 符号位为1，其余位表示数值。
  • 例如，$-12$ 的原码是 10001100。
• 缺点:
  1. 零的表示不唯一：$+0$ 是 00000000，$-0$ 是 10000000。
  2. 进行加减法运算时，需要单独处理符号位，硬件实现复杂。

反码

反码的出现是为了简化减法运算。

• 规则:
  • 正数的反码与其原码相同。
  • 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位按位取反。
• 示例:
  • $+12$ 的原码是 00001100，其反码也是 00001100。
  • $-12$ 的原码是 10001100，其反码是 11110011 (符号位1不变，后面7位 0001100 按位取反得到 1110011)。
• 缺点:
  • 仍然存在“双零”问题：$+0$ 的反码是 00000000，$-0$ 的反码是 11111111。
  • 跨零运算会产生循环进位问题。

补码

补码是现代计算机系统中最常用的有符号数表示法，它解决了原码和反码的缺点。

• 规则:
  • 正数的补码与其原码相同。
  • 负数的补码是其反码加 1。
• 求负数补码的方式:
  • 从其原码的最低位（最右边）向左找，找到的第一个 1 保持不变，这个 1 左边的所有位（不含符号位）按位取反，符号位仍为1。
• 示例:
  • $+12$ 的补码是 00001100。
  • $-12$ 的补码求法：
    1. 原码: 10001100
    2. 反码: 11110011
    3. 加 1: 11110011 + 1 = 11110100。
• 优点:
  1. 零的表示唯一: 00000000。
  2. 简化运算: 可以将减法运算转换为加法运算。例如，计算 $A-B$ 等同于计算 $A+(-B)$ 的补码。
  3. 对于一个 $n$ 位的补码系统，其表示范围为 $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$。例如，8位补码的范围是 $[-128,127]$。

总结表格 (以 ±12 为例)

值	原码	反码	补码
+12	00001100	00001100	00001100
-12	10001100	11110011	11110100

2. BCD 码

BCD码是用二进制来表示十进制数的一种编码方式。它与直接将十进制数转换为二进制数不同。

• 规则: 用 4 位二进制数来表示一位十进制数（0-9）。最常用的是 8421 BCD 码，其中各位的权值从高到低分别是 8、4、2、1。
• 特点:
  • 它介于二进制和十进制之间，便于人机交互（如数码管显示、计算器）。
  • 运算比纯二进制复杂，但比直接处理十进制字符简单。
  • 由于用4位二进制表示一位十进制数，所以 1010 到 1111 这 6 个码是无效或非法的。

BCD 码对照表

十进制	BCD 码
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001

示例: 将十进制数 129 转换为 BCD 码。

1. 将每一位十进制数分开：1、2、9。
2. 将每一位分别转换为对应的4位BCD码：
   • $1\to 0001$
   • $2\to 0010$
   • $9\to 1001$
3. 将它们组合起来：$$(129{)}_{10}=(000100101001{)}_{\text{BCD}}$$

对比: 如果将 (129)₁₀ 直接转换为纯二进制，结果是 10000001。这与它的 BCD 码是完全不同的。

四、加法器、编码器、译码器、选择器、比较器

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五、触发器

1. RS 触发器

最基本的触发器，但存在一个不确定状态，在实际应用中较少直接使用。

• 输入: $S$ (Set, 置位), $R$ (Reset, 复位)
• 输出: $Q$ (状态输出), $\bar{Q}$ (反向输出)

功能表

这张表描述了在不同输入下，下一个状态 $Q_{n+1}$ 是什么。

$S$	$R$	$Q_{n+1}$	功能
0	0	$Q_n$	保持
0	1	0	复位/置0
1	0	1	置位/置1
1	1	?	禁止/不定

特性方程

$$Q_{n+1}=S+\bar{R}{Q}_n(\text{约束条件: }S\cdot R=0)$$

激励表

这张表在电路设计时非常有用，它回答了“为了让状态从 $Q_n$ 变为 $Q_{n+1}$，输入 $S$ 和 $R$ 应该是什么？”。（X表示Don't Care，即0或1均可）

$Q_n$	$Q_{n+1}$	$S$	$R$
0	0	0	X
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	X	0

2. JK 触发器

JK 触发器是 RS 触发器的改进版，它解决了 RS 触发器的“禁止”状态问题，是最通用的触发器。

• 输入: $J$ (功能类似 $S$), $K$ (功能类似 $R$)
• 输出: $Q$, $\bar{Q}$

功能表

$J$	$K$	$Q_{n+1}$	功能
0	0	$Q_n$	保持
0	1	0	复0
1	0	1	置1
1	1	$\overline{Q_n}$	**翻转 **

JK触发器将RS触发器的禁止状态（1,1输入）变成了一个非常有用的翻转功能。

特性方程

$$Q_{n+1}=J\overline{Q_n}+\bar{K}{Q}_n$$

激励表

$Q_n$	$Q_{n+1}$	$J$	$K$
0	0	0	X
0	1	1	X
1	0	X	1
1	1	X	0

3. D 触发器

D 触发器的功能非常直接：在时钟脉冲到来时，将输入 $D$ 的值传递给输出 $Q$。它常被用作数据锁存器或移位寄存器的基本单元。

• 输入: $D$ (Data)
• 输出: $Q$, $\bar{Q}$

功能表

$D$	$Q_{n+1}$	功能
0	0	置0
1	1	置1

无论当前状态 $Q_n$ 是什么，下一个状态 $Q_{n+1}$ 都等于时钟边沿到来时的 $D$ 输入值。

**特性方程 **

$$Q_{n+1}=D$$

**激励表 **

$Q_n$	$Q_{n+1}$	$D$
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

4. T 触发器

T 触发器是一个翻转触发器。当输入 $T=1$ 时，状态翻转；当 $T=0$ 时，状态保持不变。它常用于构建计数器。

• 输入: $T$
• 输出: $Q$, $\bar{Q}$

功能表

$T$	$Q_{n+1}$	功能
0	$Q_n$	保持
1	$\overline{Q_n}$	翻转

特性方程

$$Q_{n+1}=T\oplus Q_n=T\overline{Q_n}+\bar{T}{Q}_n$$

激励表

$Q_n$	$Q_{n+1}$	$T$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0