数学分析笔记

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Copyright © 2024 Simon

第一章 序章

• 暂无

第二章 函数

• 反函数

三角函数和反函数

倒数关系：

$$\cos \theta \cdot \sec \theta =1$$$$\sin \theta \cdot \csc \theta =1$$$$\tan \theta \cdot \cot \theta =1$$

商数关系：

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$$$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$$

平方关系：

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$$$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$$$$1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$$

积化和差公式：

$$sin\alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$$$$cos\alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$$$$cos\alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$$$$sin\alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$$

和差化积：

1. 正弦函数的和差化积公式：

   $$sin\alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$$$sin\alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

2. 余弦函数的和差化积公式：

   $$cos\alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$$$cos\alpha -\cos \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$$

三角函数

• 余切函数： 定义：

  $$\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$$

  在直角三角形中

  $$\cot \theta =\frac{\mathrm{邻}\mathrm{边}}{\mathrm{对}\mathrm{边}}$$

  值域：$R$，定义域：$\theta \ne k\pi ,k\in Z$

• 正割函数： 定义：

  $$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$$

  值域：$(-\mathrm{\infty },1]\cup [1,\mathrm{\infty })$，定义域：${\displaystyle \theta \ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in Z}$。

• 余割函数： 定义：

  $$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$$

  值域：$(-\mathrm{\infty },1]\cup [1,\mathrm{\infty })$，定义域：$\theta \ne k\pi ,k\in Z$。

反三角函数

1. 反正弦函数： 符号：

   $$y=\arcsin x$$

   定义域：$[-1,1]$，值域：${\displaystyle [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}$ 性质：

   $$\sin (\arcsin x)=x,x\in [1,1]$$$$\arcsin (\sin y)=y,y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

2. 反余弦函数： 符号：

   $$y=\arccos x$$

   定义域：$[-1,1]$，值域：$[0,\pi ]$ 性质：

   $$\cos (\arccos x)=x,x\in [-1,1]$$$$\arccos (\cos y)=y,y\in [0,\pi ]$$

3. 反正切函数： 符号：

   $$y=\arctan x$$

   定义域：$R$，值域：$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 性质：

   $$\tan (\arctan x)=x,x\in R$$$$\arctan (\tan y)=y,y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

4. 反余切函数： 符号：

   $$y=\text{arccot}x$$

   定义域：$R$，值域：$(0,\pi )$ 性质：

   $$\cot (\text{arccot}x)=x,x\in R$$$$\text{arccot}(\cot y)=y,y\in (0,\pi )$$

第三章 极限

数列的极限

数列极限的$\epsilon -N$语言证明

1. 定义 数列$\{a_n\}$极限是$A$（记为$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$）的$\epsilon -N$定义：对于任意给定的正数$\epsilon >0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-A|<\epsilon$成立。
2. 证明步骤

   • 步骤一：给定$\epsilon >0$

   • 步骤二：寻找$N$

     • 通过分析$|a_n-A|<\epsilon$，对$a_n$表达式变形来确定与$\epsilon$有关的正整数$N$。
     • 例如，对于数列${\displaystyle a_n=\frac{1}{n}}$证明${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$，由${\displaystyle |a_n-0|=|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}}$，要使${\displaystyle \frac{1}{n}<\epsilon }$，得${\displaystyle n>\frac{1}{\epsilon }}$，可取${\displaystyle N=[\frac{1}{\epsilon }]+1}$（$[x]$表示不超过 $x$ 的最大整数）。

   • 步骤三：验证$n>N$时$|a_n-A|<\epsilon$成立

     • 仍以上例说明，当${\displaystyle n>N=[\frac{1}{\epsilon }]+1}$时，$n>\frac{1}{\epsilon }$，则${\displaystyle \frac{1}{n}<\epsilon }$，即${\displaystyle |a_n-0|<\epsilon }$，证得${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0}$。

利用夹迫性证明数列极限

1. 夹迫性定理 若存在三个数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，满足当$n$足够大（比如$n>N_0$，$N_0$为某个正整数）时，$a_n\le b_n\le c_n$，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A$，那么$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$。

函数的极限

1. 当$x\to 0$时
   • $x$与$\sin x$是等价无穷小：
     • 根据等价无穷小的定义，$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$
   • $x$与$\tan x$是等价无穷小：
     • 同样有$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1$$
   • $1-\cos x$与$\frac{1}{2}{x}^2$是高阶等价无穷小：
     • 由$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2}=1$$

• 补充：
• $$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$$

1. 当$x\to +\mathrm{\infty }$时
   • $\ln x$与$\sqrt{x}$的关系：
     • 对于任意正整数$n$，$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln x}{x^n}=0$$
   • $x^n$与$e^x$（$n$为常数）：
     • 对于任意常数$n$，$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{e^x}=0$$

• 当$x\to 0$时

$$\arctan x\to \sin x\to x\to \arcsin x\to \tan x\mathrm{他}\mathrm{们}\mathrm{相}\mathrm{差}\frac{x^3}{6}$$

重点：！！！！！（如果考试要用的话就要用泰勒展开写出来）

函数连续性

暂无

无限小量和无限大量

暂无

第四章 微分和微商

各种函数的导数

1. $(kx{)}^{\prime }=k$
2. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
3. $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
4. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
5. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
6. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
7. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
8. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

以下是重点

9. $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

10. $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

11. $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

12. $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

13. ${\displaystyle (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

14. ${\displaystyle (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

15. ${\displaystyle (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}}$

16. ${\displaystyle (\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}}$

1. 双曲正弦函数（sinh x）
   • 定义：${\displaystyle \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$
   • 导数：${\displaystyle (\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x}$
2. 双曲余弦函数（cosh x）
   • 定义：${\displaystyle \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$
   • 导数：${\displaystyle (\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x}$

莱布尼兹公式

公式表述

若函数$u(x)$和$v(x)$都有$n$阶导数，则

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$

其中：

• ${\displaystyle C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}}$是二项式系数
• ${\displaystyle u^{(n-k)}}$表示$u$的$(n-k)$阶导数，当$n-k=0$时，$u^{(0)}=u$
• ${\displaystyle v^{(k)}}$表示$v$的$k$阶导数，当$k=0$时，$v^{(0)}=v$

应用举例 求$y=x^2{e}^x$的$n$阶导数。 令$u=x^2$，$v=e^x$$u^{\prime }=2x$，$u^{″}=2$，$u^{(k)}=0$ for $k>2$$v^{(k)}=e^x$ for all $k⩾0$ 根据莱布尼兹公式$(x^2{e}^x{)}^{(n)}=C_n^0{x}^2{e}^x+C_n^1(2x)e^x+C_n^2(2)e^x$ 即$(x^2{e}^x{)}^{(n)}=(x^2+2nx+n(n-1))e^x$

第五章 中值定理

拉格朗日中值定理

定理内容

• 若函数$y=f(x)$满足：
  • 在闭区间$[a,b]$上连续；
  • 在开区间$(a,b)$内可导。
• 那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得
• $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

应用举例 例如，证明不等式${\displaystyle \frac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^2}}$，其中$a<b$。 设$f(x)=\arctan x$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}}$。 根据拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得${\displaystyle \arctan b-\arctan a=\frac{1}{1+{\xi }^2}(b-a)}$。 因为${\displaystyle \frac{1}{1+b^2}<\frac{1}{1+{\xi }^2}<\frac{1}{1+a^2}}$ 所以${\displaystyle \frac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^2}}$。

洛必达

没什么好说的

函数的极限

1. 函数极限存在的第一充分条件

   • 内容：设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\dot{U}(x_0,\delta )$内有定义。
     • 若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f(x)$单调递增且有上界，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f(x)$单调递减且有下界，则$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在。
     • 反之，若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f(x)$单调递减且有下界，当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f(x)$单调递增且有上界，则$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$存在。

2. 函数极限存在的第二充分条件（重点看这个）

   • 内容：设函数$y=f(x)$在点$x_0$处具有二阶导数且$f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$。
     • 若$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则函数$y=f(x)$在$x=x_0$处取得极小值；
     • 若$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则函数$y=f(x$在$x=x_0$处取得极大值。

函数凹凸性

利用二阶导数判定 设函数$y=f(x)$在区间$I$内具有二阶导数。 如果$f^{\prime \prime }(x)>0$，$x\in I$，那么函数$y=f(x)$在区间$I$上是凹的。 如果$f^{\prime \prime }(x)<0$，$x\in I$，那么函数$y=f(x)$在区间$I$上是凸的。

定义5.2 设$f(x)$在$(a,b)$有定义。若对任意$x_1$，$x_2\in (a,b)$和任意$\lambda \in (0,1)$，有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

则称$f(x)$在$(a,b)$为下凸函数；若对任意$x_1$，$x_2\in (a,b)$和任意$\lambda \in (0,1)$，有

$$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\ge \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$$

则称$f(x)$在$(a,b)$为上凸函数。

函数拐点

判定方法

• 二阶导数法
  • 一般地，若函数$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且在$x_0$的某邻域内二阶导数$f^{\prime \prime }(x)$变号（即函数的凹凸性发生改变），同时$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，那么点$(x_0,f(x_0))$是函数$y=f(x)$的一个拐点。

二阶导数不存在的点也可能是拐点

第六章&第七章&第八章 积分

• 常见积分公式

不定积分基本公式

$$\int kdx=kx+c$$$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$$$\int e^{x}dx=e^x+c$$$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$$$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+c$$$$\int \sin xdx=-\cos x+c$$$$\int \cos xdx=\sin x+c$$$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+c$$$$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+c$$$$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+c$$$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+c$$$$\int x^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3+c$$$$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+c$$$$\int \frac{1}{\sin x}dx=\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+c$$$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+c$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+c$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+c$$$$\int \sec x\tan xdx=\sec x+c$$$$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+c$$$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+c$$$$\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+c$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+c$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2+a^2}|+c$$$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+c$$$$\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+c$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+c$$

补充

$$\int \frac{x^2}{1+x^2}dx=x-\arctan x+C$$

过程如下（懂了吧）

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{1+x^2}& =\frac{x^2+1-1}{1+x^2}\\ & =\frac{x^2+1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}\\ & =1-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$$$\int \ln xdx=x\ln x-x+C$$

换元积分

1. 第一类换元法（凑微分法）

   • 示例：计算${\displaystyle \int 2x\cos (x^2)dx}$。

     • 令$u=x^2$，则$du=2xdx$。
     • 原积分${\displaystyle \int 2x\cos (x^2)dx=\int \cos udu=\sin u+C}$。
     • 再把$u=x^2$代回，得到$\sin (x^2)+C$。

   • 常见的凑微分形式：

     • ${\displaystyle \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)(a\ne 0)}$
     • ${\displaystyle \int f(x^n)x^{n-1}dx=\frac{1}{n}\int f(x^n)d(x^n)}$。
     • ${\displaystyle \int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)}$。

2. 第二类换元法

   • 根式代换
     • 当被积函数中含有${\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}(a>0)}$时，可令$x=a\sin t$，$t{\displaystyle \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}$。
       • 示例：计算${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}$。
         • 令$x=\sin t$，${\displaystyle t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}$，则$dx=\cos tdt$。
         • 原积分
         • $${\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}t}}\cos tdt=\int 1dt=t+C}$$
         • 因为${\displaystyle x=\sin t}$，所以$t=\arcsin x$，最终结果为$\arcsin x+C$
     • 当被积函数中含有${\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}(a>0)}$时，可令$x=a\tan t$，${\displaystyle t\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}$。
     • 当被积函数中含有${\displaystyle \sqrt{x^2-a^2}(a>0)}$时，可令$x=a\sec t$，${\displaystyle t\in (0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi )}$。
   • 倒代换

     • 当分母的次数比分子的次数高很多时，可考虑倒代换，即令${\displaystyle x=\frac{1}{t}}$。

     • 示例：计算${\displaystyle \int \frac{1}{x^4(1+x^2)}dx}$。

       • 令${\displaystyle x=\frac{1}{t}}$，则${\displaystyle dx=-\frac{1}{t^2}dt}$。
       • 原积分
       $${\displaystyle \int \frac{1}{x^4(1+x^2)}dx=\int \frac{t^4}{1+t^2}(-\frac{1}{t^2})dt=-\int \frac{t^2}{1+t^2}dt}$$
       • 进一步化简$${\displaystyle =-\int (1-\frac{1}{1+t^2})dt=-t+\arctan t+C}$$
       • 再把${\displaystyle t=\frac{1}{x}}$代回，得到${\displaystyle -\frac{1}{x}+\arctan \frac{1}{x}+C}$。

3. 三角代换与双曲代换（补充方法）

   • 三角代换：三角代换主要是利用三角函数之间的关系 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$，${\sec }^{2}t-{\tan }^{2}t=1$等来化简根式。
   • 双曲代换(暂时没遇过)：
     • 双曲函数定义为${\displaystyle \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}$，${\displaystyle \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$，且${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$。
     • 当被积函数含有${\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}}$时，也可令$x=a\sinh t$，因为${\displaystyle \sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2{\sinh }^{2}t+a^2}=a\cosh t}$，这样代换后可以简化积分运算。

分部积分法

分部积分公式

• 设函数$u=u(x)$及$v=v(x)$具有连续导数，那么

  $$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$$

  也可以写成

  $$\int udv=uv-\int vdu$$

有理函数的积分

就是拆开

定积分

暂无

积分中值定理

积分第一中值定理

• 若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则在$[a,b]$上至少存在一点$\xi$，使得$${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)}$$

这个定理的几何意义是：对于在区间$[a,b]$上连续的函数$y=f(x)$，由曲线$y=f(x)$、$x=a$、$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积等于以区间$[a,b]$为底，以这个区间内某一点$\xi$处的函数值$f(\xi )$为高的矩形的面积。

积分第二中值定理

• 第一形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调递减且$g(x)\ge 0$，则存在$\xi \in [a,b]$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx$$

• 第二形式：设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，那么存在$\xi \in [a,b]$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)dx+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)dx$$

泰勒公式

带佩亚诺余项

若函数$f(x)$在点$x_0$存在直至$n$阶导数，则

$${\displaystyle f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)}$$

其中$o((x-x_0{)}^n)$为佩亚诺余项，表示当$x\to x_0$时，余项是比$(x-x_0{)}^n$高阶的无穷小.

带拉格朗日余项

若函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有$n+1$阶导数，则对于$\mathrm{\forall }x\in (a,b)$，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中${\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$，$\xi$是介于$x_0$与$x$之间的某个值.

常见泰勒公式

指数函数

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots$$

对数函数

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots$$

三角函数

• 正弦函数：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$$

• 余弦函数：

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$$

• 正切函数：

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$

反三角函数

• 反正弦函数：

$$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{x^5}{5}+\cdots$$

• 反正切函数：

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots +(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\cdots$$

双曲函数

• 双曲正弦函数：

$$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1{)}^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+\cdots$$

• 双曲余弦函数：

$$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +(-1{)}^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\cdots$$

幂函数

$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots$$

自己推到:

麦克劳林展开式为：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+r_n(x)$$

其中$r_n(x)$为余项

体积

暂无

弧长

（1）直角坐标形式

若曲线的方程为$y=f(x)$，$a\le x\le b$，且$f(x)$在区间$[a,b]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

（2）参数方程形式

若曲线由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$给出，$\alpha \le t\le \beta$，其中$x(t)$、$y(t)$在区间$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

（3）极坐标形式

若曲线的极坐标方程为$\rho =\rho (\theta )$，$\alpha \le \theta \le \beta$，且$\rho (\theta )$在区间$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数，则曲线弧长$s$的计算公式为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2(\theta )+[{\rho }^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$$

曲率

直角坐标系的曲率

$$\left|\frac{y^{\prime \prime }}{{[1+(y^{\prime }{)}^2]}^{\frac{3}{2}}}\right|$$

参数方程的曲率

• 若曲线由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$给出，$t$为参数。则$x^{\prime }=x^{\prime }(t)$，$y^{\prime }=y^{\prime }(t)$，$x^{\prime \prime }=x^{\prime \prime }(t)$，$y^{\prime \prime }=y^{\prime \prime }(t)$。
• 曲率公式为$$\left|\frac{x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{{[(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2]}^{\frac{3}{2}}}\right|$$

面积

1. 直角坐标下求面积

   • 设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续且$f(x)⩾0$，那么由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$，$x=b$以及$x$轴所围成的曲边梯形的面积
   $${\int }_a^{b}f(x)dx$$

2. 极坐标下求面积

   • 由极坐标方程$\rho =\rho (\theta )$，$\alpha ⩽\theta ⩽\beta$所围成的图形的面积$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

3. 参数方程下求面积

   • 若曲线$C$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$，$\alpha ⩽t⩽\beta$，且$x(t)$，$y(t)$具有连续的一阶导数，$x^{\prime }(t)$不变号。
   • 当$x^{\prime }(t)>0$时，曲线$C$与直线$x=a,x=b,y=0$所围成的图形的面积
   $$A={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$$

直角坐标与极坐标的转换关系

• 直角坐标用$(x,y)$表示，极坐标用$(\rho ,\theta )$表示，它们之间的转换公式为$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，且${\rho }^2=x^2+y^2$

一些例题

• 求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\ln (1+1/i)}{\sin 1/i}$$

• 解答：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\ln (1+1/i)}{\sin 1/i}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (1+1/n)}{\sin 1/n}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1$$

黎曼和

当分割子区间的最大长度$\lambda \to 0$（$n\to +\mathrm{\infty }$且分割越来越细）时，黎曼和的极限若存在，就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

第十章 数项级数

一、正项级数敛散性判别法

（一）比较判别法

1. 原理：设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$是两个正项级数，且$a_n\le b_n(n=1,2,\cdots )$。若${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$收敛，则${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$也收敛；若${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$发散，则${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$也发散。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}}$的敛散性。因为${\displaystyle \frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}}$，而${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}}$是收敛的$p$级数（$p=2>1$），所以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2+1}}$收敛。

（二）比较判别法的极限形式

1. 原理：设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}$是两个正项级数，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=l}$（ $ 0 < l <+\infty$），\mathrm{则}$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$\mathrm{与}$\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$敛散性相同。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{1}{n}}$的敛散性。因为${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1}$，而${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$发散，所以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin \frac{1}{n}}$发散。

（三）比值判别法（达朗贝尔判别法）

1. 原理：设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$是正项级数，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho }$。当${\displaystyle \rho <1}$时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$收敛；当${\displaystyle \rho >1}$（包括${\displaystyle \rho =+\mathrm{\infty }}$）时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$发散；当${\displaystyle \rho =1}$时，判别法失效。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}}$的敛散性。计算${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{e}<1}$，所以级数收敛。

（四）根值判别法（柯西判别法）

1. 原理：设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$是正项级数，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\rho }$。当${\displaystyle \rho <1}$时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$收敛；当${\displaystyle \rho >1}$（包括${\displaystyle \rho =+\mathrm{\infty }}$）时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$发散；当${\displaystyle \rho =1}$时，判别法失效。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n}$的敛散性。${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}<1}$，所以该级数收敛。

（五）积分判别法

1. 原理：设$f(x)$是$[1,+\mathrm{\infty })$上非负、单调递减的连续函数，令$a_n=f(n)$，则级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$与反常积分${\displaystyle {\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx}$同敛散。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}}$的敛散性。考虑函数$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，${\displaystyle {\int }_2^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\ln x}dx=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_2^t\frac{1}{x\ln x}dx=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\ln (\ln x){]}_2^t=+\mathrm{\infty }}$，所以级数${\displaystyle \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n\ln n}}$发散。

（六）拉阿比判别法

1. 原理：设${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$是正项级数，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=R}$。
   • 当$R>1$时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$收敛；
   • 当$R<1$时，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$发散；
   • 当$R=1$时，判别法失效。
2. 例如：判断级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{1}{2^n}}$的敛散性。 计算${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)}$：

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{1}{2^n}\\ a_{n+1}& =\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!{)}^2}\cdot \frac{1}{2^{n+1}}\\ \frac{a_n}{a_{n+1}}& =\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{1}{2^n}\cdot \frac{((n+1)!{)}^2}{(2(n+1))!}\cdot 2^{n+1}\\ & =\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{((n+1)!{)}^2}{(2n+2)!}\cdot 2\\ & =\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{(n+1{)}^2\cdot (n!{)}^2}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!}\cdot 2\\ & =\frac{(n+1{)}^2}{(2n+2)\cdot (2n+1)}\cdot 2\\ & =\frac{(n+1{)}^2}{(n+1)(2n+1)}\cdot 2\\ & =\frac{n+1}{2n+1}\cdot 2\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{n+1}{2n+1}\cdot 2-1)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\left(\frac{2n+2-(2n+1)}{2n+1}\right)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\cdot \frac{1}{2n+1}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{2n+1}\\ & =\frac{1}{2}<1\end{array}$$

所以级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}\cdot \frac{1}{2^n}}$发散。

二、交错级数敛散性判别法

（一）莱布尼茨判别法

1. 原理：对于交错级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n(a_n>0)}$，如果$a_n\ge a_{n+1}(n=1,2,\cdots )$，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$，那么交错级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{a}_n}$收敛。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}}$的敛散性。$a_n=\frac{1}{n}$，显然${\displaystyle \frac{1}{n}\ge \frac{1}{n+1}}$，且${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0}$，所以该交错级数收敛。

三、任意项级数敛散性判别法

（一）绝对收敛判别法

1. 原理：若${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|}$收敛，则${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$绝对收敛，且${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$收敛。
2. 例如：判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n}{n^2}}$的敛散性。因为${\displaystyle \left|\frac{\sin n}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}}$，而${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}}$收敛，所以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n}{n^2}}$绝对收敛，从而该级数收敛。

（二）条件收敛判别法

如果${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$收敛，但${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|}$发散，则${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$条件收敛。例如${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}}$收敛，但${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$发散，所以${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}}$条件收敛。

第十一章到第十三章

狄利克雷判别法：

一、数项级数的狄利克雷判别法

设级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$，如果满足：

1. 部分和序列$A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$有界，即存在常数$M$，使得对所有$n$，都有：

$$|A_n|=\left|\sum _{k=1}^n{a}_k\right|\le M$$

2. 数列$\{b_n\}$单调趋于零，即：
   • 单调递减或单调递增； $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$。

则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

二、函数项级数的狄利克雷判别法

设函数项级数：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)b_n(x)$$

如果满足：

1. 对每个固定的$x$，部分和序列

$$A_n(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k(x)$$

有界，即存在常数$M(x)$，使得：

$$|A_n(x)|\le M(x)$$

2. 函数序列$\{b_n(x)\}$对$n$单调趋于零，即满足：
   • 单调性：对于每个固定的$x$，$b_n(x)$关于$n$单调递减或递增；
   • 极限性：对每个固定的$x$，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n(x)=0$。

则函数项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)b_n(x)$收敛。

三、广义积分的狄利克雷判别法

设积分：

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

如果满足：

1. 积分的原函数

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

有界，即存在常数$M$，使得：

$$|F(x)|\le M,x\ge a$$

2. 函数$g(x)$满足：
   • 在区间$[a,+\mathrm{\infty })$上单调趋于零； $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=0$。

则广义积分${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。

四、瑕积分的狄利克雷判别法

设积分存在瑕点$x=a$（假设瑕点为积分下限，其他点类似），考虑积分：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

如果满足：

1. 积分的原函数：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

在靠近瑕点$x=a$时有界。

2. 函数$g(x)$满足：
   • 在$(a,b]$上单调趋于零（当$x\to a^{+}$时）； -$\underset{x\to a^{+}}{lim}g(x)=0$。

则瑕积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。

阿贝尔判别法：

一、数项级数的阿贝尔判别法

考虑级数：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$$

如果满足以下两个条件：

1. 级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛（而非仅仅有界）；
2. 数列$\{b_n\}$为单调有界数列，即：
   • 存在有限的常数$M$，使得$|b_n|\le M$，且单调（递增或递减）。

则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

二、函数项级数的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑函数项级数：

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)b_n(x)$$

如果满足：

1. 对每个固定的$x$，级数

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)$$

收敛；

2. 对每个固定的$x$，函数序列$\{b_n(x)\}$单调有界，即：
   • 存在常数$M(x)$，使得对所有$n$，$|b_n(x)|\le M(x)$；
   • 对于固定的$x$，关于$n$单调递增或递减。

则函数项级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x)b_n(x)$收敛。

三、广义积分的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑广义积分：

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

如果满足：

1. 积分${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$收敛；
2. 函数$g(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$上单调有界，即：
   • 存在常数$M$，使得$|g(x)|\le M$，且$g(x)$在$[a,+\mathrm{\infty })$上单调。

则广义积分${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。

四、瑕积分的阿贝尔判别法

判别法描述：

考虑具有瑕点的积分（例如积分下限有瑕点$a$）：

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$$

如果满足：

1. 瑕积分${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$收敛；
2. 函数$g(x)$在$(a,b]$上单调有界，即：
   • 存在常数$M$，使得对所有$x\in (a,b]$，有$|g(x)|\le M$；
   • 在区间靠近瑕点$a$时，函数$g(x)$是单调的。

则瑕积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。

总结成一句话：

• 狄利克雷 判别法：部分和有界 (震荡) × 单调趋零 = 收敛。
• 阿贝尔 判别法：已知收敛 (收敛×单调有界) = 收敛。

第十四章 傅里叶级数

一、傅里叶级数的基本概念与公式

一个定义在区间$[-l,l]$上周期为$2l$的函数$f(x)$，可表示成傅里叶级数：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}]$$

系数计算公式：

• 常数项$a_0$：

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$$

• 余弦项系数$a_n$（$n\ge 1$）：

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx$$

• 正弦项系数$b_n$（$n\ge 1$）：

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

二、傅里叶级数的特殊区间（常见）:

（一）区间$[-\pi ,\pi ]$（标准区间）

若函数定义在$[-\pi ,\pi ]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

• 系数公式：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx,a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

（二）区间$[0,2\pi ]$

若函数定义在区间$[0,2\pi ]$，周期为$2\pi$，傅里叶级数展开为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

• 系数计算：

$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)dx,a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin nxdx$$

（三）区间$[-l,l]$（一般区间）

一般区间的情况（区间长度为$2l$），傅里叶级数通式为：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

• 系数计算：

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx,a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

三、小结（核心公式记忆）：

• 通式记忆：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

• 一般系数公式：

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx,a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx,b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx$$

• 区间特化记忆：
  • 标准区间$[-\pi ,\pi ]$时，公式中$l=\pi$；
  • 区间$[0,2\pi ]$时，积分区间改为$[0,2\pi ]$。

第十五章——第二十章

一、二元函数的极限与连续性

1. 函数极限定义

假设函数$f(x,y)$定义在点$(x_0,y_0)$的去心领域内，若对任意路径$(x,y)\to (x_0,y_0)$，极限值均存在且相等，则记为极限：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=L$$

2. 二元函数极限存在判定

• 当沿不同路径趋于同一点的极限值不同时，则该二元函数极限不存在。

常用方法：

• 沿特殊路径（如$x=x_0$,$y=y_0$,$y=k(x-x_0)$等）求极限并比较。
• 极坐标法：将$(x,y)$替换为$(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，考察当$r\to 0$时的极限。

3. 二元函数的连续性

若二元函数满足：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

则称函数在点$(x_0,y_0)$连续。

连续函数的性质：

• 基本运算法则（加、减、乘、除、复合运算）在连续点均保持连续。
• 多项式函数、指数函数、三角函数在定义域内连续。

二、二元函数的偏导数与高阶偏导

1. 偏导数定义

给定二元函数$z=f(x,y)$，偏导数表示函数沿坐标轴方向的变化率：

$$f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$$$$f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }y}$$

2. 高阶偏导

常见的二阶偏导：

$$f_{xx}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{yy}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},f_{xy}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x},f_{yx}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$$

偏导连续、光滑函数具有性质：

$$f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$$

（克莱罗定理）

三、二元函数的可微性与全微分

1. 二元函数的可微定义

设二元函数$z=f(x,y)$，若其变化量可表示为线性主部与高阶无穷小之和：

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)=f_x(x,y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x,y)\mathrm{\Delta }y+o(\rho ),(\rho =\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2})$$

且满足：

$$\underset{\rho \to 0}{lim}\frac{o(\rho )}{\rho }=0$$

则称函数在该点可微。其中：

-$f_x(x,y),f_y(x,y)$为函数在$(x,y)$点的偏导数。 -$o(\rho )$为高阶无穷小量，其在点邻域内趋于零的速度快于线性小量$\rho$。

几何意义： 可微函数在该点局部表现如同一个线性函数，且误差项相对于线性近似部分极小，保证函数在该点附近可用线性函数很好地逼近。

2. 全微分形式

若函数在点$(x,y)$可微，则全微分为：

$$dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy$$

作为函数在该点的线性近似。

3. 可微性与连续性、偏导关系：

函数可微 ⇒ 函数必定连续，且偏导数存在。但偏导数存在不能保证函数一定可微。充分条件（常见判定定理）：

• 若函数两个偏导数在点附近连续，则该函数在该点一定可微。

四、二元函数的极值与最小二乘法

1. 极值

若点$(x_0,y_0)$为极值点（可能极大或极小），则有：

$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$

二阶导数判别法

定义 Hessian 判别式：

$$H=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}(x_0,y_0)& f_{xy}(x_0,y_0)\\ f_{yx}(x_0,y_0)& f_{yy}(x_0,y_0)\end{array}\right|$$

• 若$H>0,f_{xx}(x_0,y_0)>0$，点为极小；
• 若$H>0,f_{xx}(x_0,y_0)<0$，点为极大；
• 若$H<0$，则为鞍点，不为极值点。

2. 最小二乘法（Least Squares Method）

拟合数据曲线，用以确定线性模型参数：

对于拟合函数$y=ax+b$，最小化平方误差之和：

$$S(a,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-a{x}_i-b{)}^2$$

通过偏导求驻点建立法方程：

$$\frac{\partial S}{\partial a}=0,\frac{\partial S}{\partial b}=0$$

由此解出最优参数$a,b$。

五、条件极值与拉格朗日乘数法

求函数$f(x,y)$在约束条件$g(x,y)=0$下的极值。

构建拉格朗日函数：

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda g(x,y)$$

其中$g(x,y)=h(x,y)-c$为约束函数。

由方程组：

$$\mathrm{\nabla }L=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{f}_x(x,y)-\lambda g_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)-\lambda g_y(x,y)=0\\ g(x,y)=0\end{array}$$

求解确定极值点。

六、含参变量的积分、广义积分与欧拉积分

1. 含参变量积分

积分形式：

$$F(a)={\int }_{u(a)}^{v(a)}f(x,a)dx$$

求导法则（Leibniz公式）：

$$F^{\prime }(a)=f[v(a),a]\cdot v^{\prime }(a)-f[u(a),a]\cdot u^{\prime }(a)+{\int }_{u(a)}^{v(a)}\frac{\partial f}{\partial a}(x,a)dx$$

2. 广义积分

例如：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x,a)dx$$

判断广义积分收敛的常用方法：

• 比较判别法
• 极限判别法

3. 欧拉积分

• 第一类欧拉积分（Beta函数）：

$$B(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt,x>0,y>0$$

• 第二类欧拉积分（Gamma函数）：

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt,x>0$$

• 两者关系：

$$B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$$

七、重积分

二重积分定义

设区域$D$为闭区域，则二重积分表示为：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

计算方法

• 直角坐标系下的积分：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{x=a}^{x=b}{\int }_{y=g_1(x)}^{y=g_2(x)}f(x,y)dydx$$

• 极坐标变换：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,dxdy=rdrd\theta$$

应用

• 求面积、体积、质量、重心等
• 交换积分次序 (Fubini定理)：

$${\int }_{x=a}^{x=b}{\int }_{y=c}^{y=d}f(x,y)dydx={\int }_{y=c}^{y=d}{\int }_{x=a}^{x=b}f(x,y)dxdy$$